Para analizar si el infinito realmente no termina hay que abandonar la imagen ingenua de la línea que sigue y sigue, y examinar el concepto bajo el rigor de la teoría de conjuntos, la cosmología y la filosofía de la ciencia. El infinito es una propiedad estructural de ciertos sistemas y modelos…
Dedekind, Cantor y la jerarquía de los infinitos
En las matemáticas contemporáneas, el infinito se define por la forma en que un conjunto se relaciona consigo mismo, no por la imposibilidad de llegar al final. Un conjunto es infinito cuando puede ponerse en correspondencia biyectiva con una parte propia de sí mismo: el todo y una de sus partes tienen el mismo tamaño. Richard Dedekind formalizó esta intuición.
El ejemplo clásico es el de los números naturales —1, 2, 3…— y el subconjunto de los números pares —2, 4, 6…—: la función f(n) = 2n establece una correspondencia uno a uno entre ambos conjuntos, de modo que, en el infinito, el todo deja de ser más grande que una de sus partes. Parece complicado, y sí, lo e un poco.
Georg Cantor profundizó ese quiebre conceptual al mostrar que el infinito forma una jerarquía de tamaños o cardinalidades. El infinito numerable, designado ℵ₀, es el cardinal de los números naturales, los enteros y los racionales: cualquier colección cuyos elementos puedan listarse en una secuencia tiene este tipo elemental de infinitud.
En cambio, el conjunto de los números reales posee un cardinal estrictamente mayor, el infinito del continuo, que Cantor demostró ser no numerable mediante su célebre argumento de la diagonal: siempre puede construirse un número real entre 0 y 1 que no aparece en ninguna lista pretendidamente completa. Más todavía, para cualquier conjunto A el cardinal del conjunto de sus subconjuntos es siempre mayor que el de A. El mayor infinito no existe; hay una escalera abierta de cardinalidades donde cada peldaño excede al anterior. O sea, entre 0 y 1 hay infinito, aunque correlacionalmente tengamos un límite o rango.
La estructura del infinito matemático dejó así de ser un hecho único para convertirse en un paisaje dependiente de las reglas lógicas de juego.
El choque con el mundo: infinito matemático y finitud física
La matemática opera con infinitos actuales: conjuntos completos cuyos elementos infinitos se consideran dados simultáneamente, con independencia de cualquier proceso. La física está confinada a lo que puede medirse o describirse de manera coherente dentro de teorías ajustadas a datos.
En cosmología, la pregunta de si el universo es espacialmente infinito se vincula con la geometría global del espacio-tiempo y con parámetros como la curvatura espacial efectiva. Modelos basados en relatividad general permiten universos espacialmente abiertos o planos que se extienden sin límite; universos cerrados serían finitos aunque sin borde. El ejemplo del infinito entre 0 y 1.
El universo observable, sin embargo, es estrictamente finito: más allá del horizonte cosmológico, limitado por la velocidad de la luz y el tiempo transcurrido desde el Big Bang, el universo puede continuar, pero su extensión queda fuera de cualquier alcance operativo.
En la física de altas energías, los infinitos aparecen como síntomas de ruptura del modelo. Las singularidades de los agujeros negros o del estado inicial del universo corresponden a regiones donde las ecuaciones de la relatividad general predicen densidades y curvaturas sin límite cuando el volumen tiende a cero, lo que indica que el espaciotiempo clásico deja de ser un buen marco descriptivo.
Diversas aproximaciones de gravedad cuántica —desde la gravedad cuántica de bucles hasta la teoría de cuerdas— exploran la posibilidad de que el tejido espacio-temporal tenga estructura discreta o que nuevas simetrías suavicen esas divergencias, imponiendo escalas mínimas como la longitud de Planck y eliminando así los infinitos actuales en el dominio subatómico. Todo un trabalenguas.
Incluso en modelos donde el universo es espacialmente infinito, el número de grados de libertad físicamente accesibles dentro del horizonte observable resulta finito, acotado por el principio holográfico, que vincula la información máxima de una región con el área de su frontera. Los infinitos funcionan aquí como señales de que la teoría ha sido empujada más allá de su región de validez.
Aristóteles y Cantor: el infinito potencial contra el actual
Mucho antes del refinamiento lógico del siglo XX, Aristóteles planteó la distinción entre infinito potencial e infinito actual. El infinito potencial designa procesos que pueden proseguirse indefinidamente —contar, dividir, prolongar una línea—. El infinito actual se referiría a una totalidad ya completa con infinitos elementos. Para Aristóteles, solo el infinito potencial era aceptable: la idea de una totalidad infinita existente como un todo cerrado le resultaba contradictoria.
La revolución de Cantor en el siglo XIX consiste precisamente en legitimar el tratamiento coherente de infinitos actuales en matemáticas. En lugar de pensar el conjunto de los naturales como una secuencia que nunca se termina de recorrer, la teoría de conjuntos lo considera una entidad dada, sobre la que se puede razonar con la misma formalidad con que se razona sobre un conjunto finito.
Los axiomas de ZFC se apoyan en esta noción de infinito actual, mientras que el infinito potencial pasa a verse como la manera en que nuestra práctica finita se aproxima a estructuras que en el modelo ya están idealmente completas. Cuando decimos que podemos seguir sumando 1 indefinidamente, desplegamos paso a paso una porción siempre finita de una estructura infinita que el lenguaje matemático ya presupone.
Por qué la pregunta misma está mal formulada
A la luz de todo lo anterior, la frase “el infinito no termina” resulta una trampa lingüística. Presupone un proceso temporal —algo que avanza en etapas— y la posibilidad de un último paso, mientras que el infinito matemático es una estructura que se define por carecer de agotamiento en cualquier conteo finito. Preguntarse si termina equivale a preguntarle a un concepto estático por una propiedad temporal que le resulta ajena.
En el plano formal, el infinito actual es una totalidad cerrada y completa en sentido axiomático: el conjunto de todos los puntos de una recta, el conjunto de todos los naturales, el continuum de los reales. En el plano epistemológico, el no terminar del infinito remite a los límites de nuestros procesos finitos de construcción, medición y demostración, antes que a una propiedad misteriosa de la realidad. Lo que persiste sin término, en última instancia, es nuestro intento de pensarlo.
Máster en investigación, arquitecto, novelista, ensayista y editor. Fundador de la Plataforma Fdh.
